公認会計士高田直芳 会計物理学&会計雑学講座










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公認会計士高田直芳:オイラーの公式e^iπ=-1の証明(簡易バージョン)


オイラーの公式 の証明
簡易バージョン


米国のノーベル物理学賞受賞者リチャード・ファインマンが、「人類の至宝」と呼んだ「オイラーの公式」を、さらりと導出してみることにします。
オイラーの公式とは、次の【式1】に示すものです。
【式1】オイラーの公式
まず、自然対数の底 は、次の【式2】のように展開されます。
【式2】
上記【式2】を「マクローリン展開」といいます。
マクローリンというのは、アイザック・ニュートン(1643~1727)の弟子である、コリン・マクローリン(1698~1746)の名に因みます。
について、次のようにします。
【式3】
上記【式3】にある 虚数であり、 を実数とします。 上記【式2】の に、【式3】の を代入すると、【式4】になります。
【式4】
ところで、 については、次のマクローリン展開があります(テイラー展開ともいいます)。
【式5】

上記【式5】を、【式4】3行目の式に代入すると、次の【式6】になります。
【式6】
上記【式6】にある を、円周率 に置き換えると、【式7】になります。
【式7】
上記【式7】において、「 」であり、「 」であるから──、
【式8】
となります。 おそまつ様でした。 もっと詳しく学びたい人は、次の書籍を参照。 以上の話(特に虚数)の延長線上にあるのが、次の関連ブログです。
【関連ブログ】
難しい話を、難しく語るのは、誰にでもできる。 難しい話を、やさしく語るのが、専門家のつとめ。 単利計算思考の古典派会計学を、無理に複雑にねじ曲げて、自らの権威を守ろうとする人たちには、わからないだろうなぁ。